MECHANIKA - ELŐADÁS ANYAG

Anyagi pont, koordináta rendszer.

Az anyagi pont fogalom „megalkotását” a mozgó test és a pályájának mérete közötti arány extrapolálása „indukálta”. A következő példákban ez az arány közel azonos, azaz a mozgó test „pontszerű” a pálya méretéhez képest (Vigyázat nem a test pontszerű!)

Ezek alapján célszerűnek látszik a valódi testek modellezésére a legegyszerűbb geometriai "alakzatot", a geometriai pontot használni. Azt pedig, hogy ez nem csak egy pont, hanem ott egy "test" van, a következő kifejezéssel hangsúlyozzuk: anyagi pont (rövidítve: AP).
A másik test modellezését, amelyhez képest az általunk vizsgált test változtatja helyzetét (mozog) Descartes–féle derékszögű koordináta rendszer formájában tesszük meg. Az útvonal modellje pedig, követve a geometriai fogalmakat, a geometriai vonal lesz.
A mechanikában a teret háromdimenziósnak fogjuk fel, ezért ennek a leírására egy háromtengelyű koordináta rendszert fogunk használni. Az AP helyét ezek után helyvektorral adhatjuk meg (jele ). Komponensei leggyakrabban a természetes koordináták: x, y, z.

Def.:  A Descartes–féle derékszögű, jobbsodrású koordináta rendszer a térben három, páronként egymásra merőleges, közös origójú számegyenesből (tengelyekből) áll; az első az x, a második az y, a harmadik a z tengely; sorrendjük az óramutató járásával ellentétes, vagy jobbcsavart alkot.

Def.: A helyvektor a koordináta rendszer origójából a kérdéses pontba mutató, irányított szakasz. Jele: . Hossza: |r|, vagy csak r. A helyvektor koordinátái a derékszögű koordináta rendszerben rendezett számhármasok.

Def.: A természetes koordináták a Descartes–féle koordináta rendszerben egy P pontnak, illetve az oda mutató,  helyvektor végpontjának a tengelyekre eső vetületeinek az origótól mért távolsága. A helyvektor–idő függvény (jele: ) az anyagi pont mozgását megadó koordináta–idő függvények (x(t), y(t), z(t)) tömör jelölésére szolgál.

Összefoglalva Az anyagi pont helyzetének ismerete azt jelenti, hogy ismerjük helyvektorát azaz három, megfelelő sorrendben megadott adatot, mozgásának ismerete pedig azt jelenti, hogy ismerjük a helyvektor–idő függvényét (amely végpontja szemléletesen a pályát futja be), azaz ismerünk három, megfelelő sorrendben megadott helykoordináta–idő függvényt, tehát

A legegyszerűbb mozgások

A valódi testek valódi mozgásai végtelen sokfélék. Csak véges számú esetet tudunk leírni és a valóságos eseteket ezekkel próbáljuk közelíteni. Csak a legegyszerűbb mozgásokról beszélünk, amelyek a legegyszerűbb térgörbék és a legegyszerűbb időbeliségek kombinációi:

Ezek alapján a legegyszerűbb mozgások a következők:
Egyenes vonalú egyenletes mozgás
Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás
Egyenletes körmozgás
Egyenletesen változó körmozgás
Harmonikus rezgőmozgás egyenes mentén
Harmonikus rezgőmozgás körív mentén

Egyenes vonalú egyenletes mozgás

Def.:  Időben egyenletes az anyagi pont mozgása, ha egy útszakasz megtétele során (bárhogy is választva meg annak megtételéhez szükséges teljes időtartam egyenletes beosztását), azonos kis időtartamok alatt azonos utakat tesz meg.

Megjegyzések: Ez a definíció egyébként annyit is jelent, hogy az AP által megtett út egyenesen arányos az eltelt idővel, azaz s ~ t, vagy x ~ t. Az arányosság azt is jelenti, hogy az s/t, illetve az x/t hányados állandó. Ez az állandó jellemző lehet az adott AP mozgására, mert arra utal, hogy ugyanazt az utat hamarabb (gyorsabban, sebesebben) teszi meg az egyik AP, mint a másik, ha az ő mozgását leíró ilyen hányados nagyobb. Ezt a hányadost ezért célszerű fizikai mennyiség "rangjára" emelni.

Def.: A sebesség (velocitas jele: ) a hosszúság (az út) és az idő hányadosával definiált fizikai mennyiség.

        (d1.2)

Megjegyzések: A sebesség definíciójából következik, hogy az származtatott mennyiség, és így a mértékegységének származtatása is ilyen úton történik, tehát egysége a méter/secundum, röviden m/s.

A következő testek a mozgásuk adott szakaszán jó közelítéssel teljesítik ezt:
- a 100 méteres síkfutó a start után 20 métertől 100 méterig,
- közlekedő vonat hosszú, nyílt pályán,
- esőcsepp a talajhoz közeli 100 méteren,
- meglökött kocsi a vízszintes légpárnás pályán,
- olajcsepp a Millikan–féle kísérletben, stb.

Sebesség mérése:
Egy valóságos test mozgásának minősítését abból a szempontból, hogy közelítőleg egyenletes mozgást végez-e, a definíciót felhasználva a következőképpen végezhetjük el. A pályájához illesztünk egy skálát, felvesszük a beosztás kezdőpontját. Egy eszközzel (pl. metronóm) időben periódikusan ismétlődő jeleket állítunk elő és ezekben az "időpontokban" (egyenlő időközönként) leolvassuk a test helyzetét (egy kijelölt pontjának a helyzetét). Ezután ábrázoljuk az összetartozó helykoordináta-idő adatokat grafikonon. Ha a mérési eredményekre, a regresszió számításnak megfelelően, lehetséges egyenest illeszteni, akkor azt mondhatjuk, hogy a test mozgása egyenletes volt. Az egyenes meredeksége adja a sebesség értékét.

Egyenes vonalú egyenletesen változó mozgás

Def.:  Időben egyenletesen változó az anyagi pont mozgása, ha egy útszakasz megtétele során (bárhogy is választva meg annak megtételéhez szükséges teljes időtartam egyenletes beosztását), azonos időtartamok alatt a sebességének a megváltozása azonos mértékű.

Megjegyzések: Ez a definíció egyébként annyit is jelent, hogy az AP sebessége egyenesen arányos az eltelt idővel, azaz v ~ t. Az arányosság azt is jelenti, hogy a v/t hányados állandó. Ez az állandó jellemző lehet az adott AP mozgására, mert megadja, hogy ugyanazon időtartam alatt az egyik esetben az AP nagyobb sebességre tett szert, mint a másik esetben, ha a mozgását leíró ilyen hányados nagyobb. Ezt a hányadost ezek után célszerű fizikai mennyiség "rangjára" emelni.

Def.: A gyorsulás (acceleratio jele: ) a sebesség és az idő hányadosával definiált fizikai mennyiség.       (d1.3)

Megjegyzések: A gyorsulás definiciójából következik, hogy az származtatott mennyiség, és így a mértékegységének származtatása is ilyen úton történik, tehát egysége a méter/secundum2, röviden m/s2.
Az egyenletesen változó mozgás során a megtett út- az idő négyzetével arányosan változik, .
Az egyenletesen változó mozgás kinematikai leírására, amennyiben xo kezdő helykoordinátájú helyről, vxo kezdősebességgel indul a test és ax a gyorsulása, akkor a helykoordináta-idő, x(t) és a sebesség-idő, v(t) függvények a következők:

         (d1.4)

        (d1.5)

A következő testek a mozgásuk adott szakaszán jó közelítéssel teljesítik ezt:
- egyenletesen behavazott domboldalon szánkóval lecsúszunk,
- az első sebességfokozatban autóval azonos gázpedál nyomás mellett elindulunk,
- 2–3 méter magasból leejtjük az acélgolyót,
- ferde légpárnás pályán elengedjük a kocsit, stb.

Gyorsulás mérése:
Egy valóságos test mozgásának minősítését abból a szempontból, hogy közelítőleg egyenletesen változó mozgást végez-e, a definíciót felhasználva a következőképpen végezhetjük el. A pályájához illesztünk egy skálát, felvesszük a beosztás kezdőpontját (az origót) egy eszközzel (pl. metronóm) időben periódikusan ismétlődő jeleket állítunk elő és ezekben az "időpontokban" (egyenlő időközönként) leolvassuk a test helyzetét (egy kijelölt pontjának a helyzetét). Egy–egy időtartamra átlagsebességet számolunk. Ezután ábrázoljuk az időtartamok felében az oda tartozó átlagsebesség értékeket grafikonon. Ha a mérési eredményekre, a regresszió számításnak megfelelően, lehetséges egyenest illeszteni, akkor azt mondhatjuk, hogy a test mozgása egyenletesen változó volt. Az egyenes meredeksége adja a gyorsulás értékét.

A sebesség és a gyorsulás legáltalánosabb megadása:

Def.:  A pillanatnyi sebesség (vektor) (jele: ) a helyvektor idő szerinti első differenciálhányadosa:

                                            (d1.6)

Def.: A pillanatnyi gyorsulás (vektor) (jele: ) a sebességvektor idő szerinti első, vagy a helyvektor idő szerinti második differenciálhányadosa:

                                    (d1.7)

Megjegyzések: A pillanatnyi sebesség Newton óta értelmezett az általa bevezetett (feltalált) differenciál- és integrálszámítás alapján. A pillanatnyi sebesség a helyvektor differenciálásával képes kódolni nemcsak a sebesség nagyságát (ami az út idő szerinti differenciálhányadosával egyenlő), hanem a mozgás irányát is azzal, hogy a differenciálás során kapott vektor mindig a pálya érintőjébe esik és iránya a mozgás irányába mutat.

Körpályán történő egyenletes körmozgás

Az AP körpályán történő egyenletes mozgásának a definíciója a körív tetszőleges beosztásával teljesen hasonlóan adható meg, mint az egyenes mentén bekövetkező mozgások esetében. Azonban a körmozgás leírását szögelfordulással is jellemezni lehet, ami újabb származtatott mennyiségekre ad lehetőséget.

Def.: : Időben egyenletes az anyagi pont körmozgása, ha egy nagyobb szögelfordulás során (bárhogy is választva meg az annak megtételéhez szükséges teljes időtartam egyenletes beosztását), azonos időtartamok alatt azonos a szögelfordulás.

Megjegyzések: Ez a definició egyébként annyit is jelent, hogy az AP által a körív mentén megtett út is és a szögelfordulás is egyenesen arányos az eltelt idővel, azaz i ~ t, és j ~ t.
Az arányosság azt is jelenti, hogy az i/t, illetve az j/t hányados állandó. Ezt a két állandót fizikai mennyiségként értelmezzük

Def.:  A kerületi sebesség (jele: ) az ívhosszúság (i) és az idő hányadosával definiált fizikai mennyiség. Egysége: m/s.
       (d1.8)

Def.: A szögsebesség (jele:w) a szögelfordulás (j) és az idő hányadosával definiált fizikai mennyiség. Egysége: s-1.
,     (d1.9) másrészt     ,  (d1.10)              (d1.11)

Megjegyzés: A kerületi sebesség és a szögsebesség között fennáll a következő összefüggés:
   (d1.12)

Tétel: Az egyenletes körmozgás, gyorsuló mozgás, a gyorsulás iránya a kör középpontja felé mutat (centripetális, ), nagysága pedig a következőképpen számolható ki:

Körpályán történő egyenletesen változó körmozgás

Def.: Időben egyenletesen változó az anyagi pont körmozgása, ha azonos időtartamok alatt a kerületi sebességének és ezzel a szögsebességnek a megváltozása azonos mértékű.

Megjegyzések: Ez a definició egyébként annyit is jelent, hogy az AP által a körív mentén a kerületi sebesség is és a szögsebesség is egyenesen arányos az eltelt idővel, azaz és .
Az arányosság azt is jelenti, hogy az , illetve az  hányados állandó. Ezt a két állandót ezek után fizikai mennyiségként értelmezzük.

Def.: A kerületi (érintőleges, v. tangenciális) gyorsulás (jele: ) a kerületi sebesség () és az idő hányadosával definiált fizikai mennyiség. Egysége: m/s2.

    (d1.14)

Def.: A szöggyorsulás (jele:b) a szögsebesség (w) és az idő hányadosával definiált fizikai mennyiség. Egysége: s-2.

     (d1.15)

Megjegyzés: A kerületi gyorsulás és a szöggyorsulás között fennáll a következő összefüggés:

(d1.16)

A következő testek a mozgásuk adott szakaszán jó közelítéssel teljesítik ezt:
- a körhinta egy ülésének mozgása közvetlenül elindulás után,
- a személygépkocsi kanyarban fékezés közben
- a kerekes kút hajtókarja, miközben a vödör szabadon elindul lefelé, stb.

Tétel: Az egyenletesen változó körmozgás olyan gyorsuló mozgás, amelynél a gyorsulás vektor () iránya a körív homorú oldala felé mutat, és amelynek az érintőleges, v. tangenciális komponensének (), valamint a görbületi sugár irányú, normális, v. centripetális komponensének (), a nagyságát pedig a következőképpen számolhatjuk ki:

          (d1.17)        továbbá       (d1.18)

azaz     (d1.19)

Megjegyzés: Az egyenletesen változó körmozgás során a megtett út- (az ív hossza és a szögelfordulás) az idő négyzetével arányosan változik, .
Az egyenletesen változó körmozgás kinematikai leírására, amennyiben  kezdő helykoordinátájú helyről,  kezdő szögsebességgel indul a test és b a szöggyorsulása, akkor a szögelfordulás-idő,  és a szögsebesség-idő,  függvények a következők:

    (d1.20)

Egyenes mentén történő harmonikus rezgőmozgás

Def.:  Lineáris (csillapítatlan) harmonikus rezgőmozgás az AP olyan mozgásformája, amely során úgy mozog, hogy egy O vonatkoztatási ponttól számított kitérése (x) az egyenes mentén két irányban az időnek harmonikus (szinusz, koszinusz) függvénye:

        (d1.22)

ahol      ,  (d1.23)               (d1.24)

továbbá:
A -                  amplitúdó,
w -                 körfrekvencia,
T -                  rezgésidő, vagy periódusidő,
n -                  rezgésszám, vagy frekvencia,
 -       fázis,
a -                  kezdőfázis.

Megjegyzés: A lineáris (csillapítatlan) harmonikus rezgőmozgás sebesség () és gyorsulás () időfüggvényei a következők:

(d1.25)        ahol   ,         (d1.26)

   (d1.27)

ahol   ,    (d1.28)